“悖論”是英語(yǔ)詞paradox的中譯，從字面上說(shuō)，悖論是指違反常識的或荒謬的理論，或自相矛盾的語(yǔ)句或命題。最早的悖論可追溯到公元前6世紀古希臘克里特島人埃匹門(mén)尼德，他提出了著(zhù)名的說(shuō)謊者悖論：“所有的克里特島人都說(shuō)謊。”他究竟說(shuō)了一句真話(huà)還是假話(huà)？如果他說(shuō)的是真話(huà)，由于他也是克里特島人之一，他也說(shuō)謊，因此他說(shuō)的是假話(huà)；如果他說(shuō)的是假話(huà)，則有的克里特島人不說(shuō)謊，他也可能是這些不說(shuō)謊的克里特島人之一，因此他說(shuō)的可能是真話(huà)。此后對悖論的研究一直綿延不絕，并經(jīng)歷了至少兩個(gè)高峰時(shí)期，一是歐洲中世紀經(jīng)院邏輯對悖論的研究，另一個(gè)是從19世紀末一直延續到今天的悖論研究。后一時(shí)期先主要從數學(xué)、邏輯學(xué)角度研究悖論，后來(lái)則更多地從哲學(xué)和語(yǔ)義學(xué)的角度去研究悖論。在長(cháng)達幾千年的研究過(guò)程中，“悖論”已成為一個(gè)龐大的家族，其中混雜著(zhù)五花八門(mén)的成員，各種冠以“悖論”的語(yǔ)句或推論差異極大。因此，我們有必要先厘清“悖論”的精確涵義，然后對其家族成員進(jìn)行甄別，在此基礎上展開(kāi)對悖論的討論。

在目前的用法中，“悖論”一詞至少有以下四種涵義：

第一，違反常識，有悖直觀(guān)，似非而是的真命題。例如，在數學(xué)史上曾喧囂一時(shí)的所謂“無(wú)窮小悖論”就是如此：微積分中的無(wú)窮小似零（作為加項可以略去），但又非零（可以作為分母），（表面上）自相矛盾。于是，當時(shí)的英國大主教、著(zhù)名哲學(xué)家貝克萊說(shuō)它像一個(gè)飄動(dòng)不居的鬼魂。所謂的“伽利略悖論”也與此類(lèi)似：對于任一平方數，有且只有一個(gè)自然數與之一一對應，即作為整體一部分的平方數竟與作為整體的自然數一樣多。這與當時(shí)已知的數學(xué)知識相悖。在邏輯中，有為數眾多的所謂“蘊涵悖論”，例如著(zhù)名的“實(shí)質(zhì)蘊涵悖論”：真命題被任一命題所蘊涵；假命題蘊涵任一命題；以及本書(shū)前面討論過(guò)的各種“道義悖論”。這些“悖論”都是相應的邏輯系統中的定理，這些系統也是可靠的或者一致的，內部沒(méi)有任何矛盾。這些定理之“?！痹谟谒鼈冇小般！庇陉P(guān)于相應概念的常識、直觀(guān)、經(jīng)驗等，因此，它們最多只能被叫做“直觀(guān)悖論”，不屬于嚴格意義的“悖論”之列。

第二，與公認的看法或觀(guān)點(diǎn)相矛盾的命題或原則，似是而非，但其中潛藏著(zhù)深刻的思想或哲理。最典型的是古希臘哲學(xué)家芝諾提出的四個(gè)“芝諾悖論”，即“二分法”、“阿基里斯追不上龜”、“飛矢不動(dòng)”、“一倍的時(shí)間等于一半”。這里僅以他的“二分法”為例：假定某個(gè)物體向一個(gè)目的地運動(dòng)，在它達到該目的地之前必須走完這路程的一半，而要走完這路程的一半，又要走完這一半的一半；要走完這一半的一半，則要先走完這一半的一半的一半，如此遞推，以至無(wú)窮。因此，第一次運動(dòng)所要達到的目標是沒(méi)有的，但沒(méi)有第一次運動(dòng)的目標就不可能開(kāi)始運動(dòng)，因此就沒(méi)有運動(dòng)，因此運動(dòng)是不可能的。這里，芝諾的論證并不是在描述或否認運動(dòng)的現象和結果，而是要說(shuō)明運動(dòng)是如何可能的，我們應該如何在理智中、在思維中、在理論中去刻畫(huà)、把握、理解運動(dòng)！當然，芝諾的結論是不成立的。與此類(lèi)似的是康德關(guān)于時(shí)間和空間的四個(gè)“二律背反”，僅舉一例：正題：“世界在時(shí)間上有開(kāi)端，在空間上有界限”；反題：“世界并無(wú)開(kāi)端，也無(wú)空間的界限。就時(shí)空而言，它是無(wú)限的。”康德以觸目驚心的形式揭示了世界本身就存在的矛盾。芝諾和康德的論證中都隱含著(zhù)深刻的思想。再如中國古代的名辯學(xué)家，曾提出了諸如“白馬非馬”、“雞三足”、“卵有毛”這樣一些表述形式怪誕的命題，其中有些命題甚至隱含著(zhù)集合論思想的萌芽。

第三，從一組看似合理的前提出發(fā)，通過(guò)有效的邏輯推導，得出了一對自相矛盾的命題，這時(shí)我們稱(chēng)導出了悖論。例如中國古代曾有人主張“言盡悖”，《墨子》反駁說(shuō)：“以言為盡悖，悖，說(shuō)在其言。”（《經(jīng)下》）“之人之言可，是不悖，則是有可也；之人之言不可，以當，必不當。”（《經(jīng)說(shuō)下》）其意思是：“一切言論都是虛假的”這句話(huà)必然導致自相矛盾，用印度因明的話(huà)來(lái)說(shuō)，就是“自語(yǔ)相違”。伽利略從亞里士多德的“物體的下落速度與物體的重量成正比”這一命題出發(fā)，也導出了一對矛盾：假設亞氏的理論是正確的，我們設想有兩個(gè)物體A和B，其中A重B輕。按照亞氏理論，則A下落得快B下落得慢?，F在我們設想把A和B綁在一起成為A＋B。顯然，A＋B比A重，按亞氏理論，則A＋B下落得比A快；但A＋B是由A和B合成的，按當時(shí)已確證的另一理論，兩物的合成速度不會(huì )等于或高于其中單獨一物的速度，因此A＋B下落應比A慢。而這兩個(gè)結論是矛盾的，伽利略由此提出“物體的下落速度與物體的質(zhì)量沒(méi)有關(guān)系”的新理論，據說(shuō)還進(jìn)行了一次著(zhù)名的比薩斜塔實(shí)驗以驗證他的推斷。本章后面要談到的許多悖論，都是此種意義上的，例如布拉里—弗蒂悖論、康托爾悖論、里查德悖論，等等。

第四，悖論是指從一組看似合理的前提出發(fā)，通過(guò)正確有效的邏輯推導，得出了一個(gè)由互相矛盾的命題構成的等價(jià)式：p?﹁p。這種悖論最典型的是“強化的說(shuō)謊者悖論”和“羅素悖論”。前者是指這樣一種情形：一個(gè)人說(shuō)了唯一一句話(huà)：“我正在說(shuō)的這句話(huà)是假的。”請問(wèn)這句話(huà)究竟是真的還是假的？如果這句話(huà)是真的，則它說(shuō)的是真實(shí)的情形，而它說(shuō)它本身是假的，因此它是假的；如果這句話(huà)是假的，則它說(shuō)的不是真實(shí)的情形，而它說(shuō)它本身是假的，因此它本身不是假的，而是真的。于是，這句話(huà)是真的當且僅當這句話(huà)是假的，這就是悖論。這樣的悖論還有“鱷魚(yú)悖論”、“理發(fā)師悖論”，等等。

國內學(xué)界對“悖論”的定義通常只取第四種意義。例如，《中國大百科全書(shū)·哲學(xué)》中這樣定義“悖論”：“指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一類(lèi)命題。這類(lèi)命題也可以表述為：一個(gè)命題A，A蘊涵非A，同時(shí)非A蘊涵A，A與自身的否定非A等值。”《辭?！?/strong>中對“悖論”的定義則是：“一命題B，如果承認B，可推得﹁B；反之，如果承認﹁B，又可推得B，則稱(chēng)命題B為一悖論。”以研究悖論著(zhù)稱(chēng)的張建軍對“悖論”的理解是：悖論是從某種公認正確或暗中假定的背景知識（簡(jiǎn)稱(chēng)共識）中邏輯地推導出來(lái)的兩個(gè)相互矛盾命題的等價(jià)式；構成一個(gè)悖論必須具備如下因素：（1）任一悖論都是相對于某些共識而言的。這些共識既可以是人們公認的明晰的知識，也可以是人們不自覺(jué)地確認的共同的直覺(jué)，或者是某個(gè)特定的理論體系。（2）任一悖論都是從某些共識合乎邏輯地推導出來(lái)的，悖論的產(chǎn)生不是源自于邏輯推導過(guò)程的錯誤。不需邏輯推導、一望而知的自相矛盾，只是一般的邏輯矛盾，不是悖論。（3）悖論表現為或可以表現為兩個(gè)互相矛盾命題的等價(jià)式，即p?﹁p。概而言之，“共識、邏輯推導和矛盾等價(jià)式，是構成悖論的三要素”。

我基本同意張建軍關(guān)于悖論的上述看法，但對于把“悖論”限制于“兩個(gè)互相矛盾命題的等價(jià)式”這一點(diǎn)有所保留，因為有不少悖論并不表現為這樣的等價(jià)式，例如布拉里—弗蒂悖論、康托爾悖論、里查德悖論等，勉強把它們化歸于這樣的等價(jià)式也不太自然。我傾向于把上面第三種和第四種意義的“悖論”看作是真正的悖論，于是我所同意的“悖論”定義是：“如果某一理論的公理和推理規則看上去是合理的，但在這個(gè)理論中卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個(gè)命題，它表現為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式。那么，我們說(shuō)這個(gè)理論包含一個(gè)悖論。”或者換一種更松散的說(shuō)法：如果從看起來(lái)合理的前提出發(fā)，通過(guò)看似正確有效的邏輯推導，得出了兩個(gè)自相矛盾的命題或這樣兩個(gè)命題的等價(jià)式，則稱(chēng)得出了悖論。這里的要點(diǎn)在于：推理的前提看似明顯合理，推理過(guò)程看似合乎邏輯，推理的結果則是自相矛盾的命題或矛盾命題的等價(jià)式。

——摘自 陳波《邏輯哲學(xué)研究》

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