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平均曲率等於主曲率的算術(shù)平均數(k₁+k₂)/2。量綱爲長(cháng)度。平均曲率和曲面面積的第一變分密切相關(guān)。特別的，像肥皂膜這樣的極小曲面平均曲率爲0，而肥皂泡平均曲率爲常數。不像高斯曲率，平均曲率依賴(lài)於嵌入，例如，圓柱和平面是局部等距的，但是平面的平均曲率爲0，而圓柱的非零。

第二基本形式[編輯]

曲面的外在曲率與內在曲率可以在第二基本形式中結合起來(lái)。用符號來(lái)表示

${\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{I}(\mathit{x},\mathit{x})=\mathit{n}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\mathit{x}}\mathit{x}}$

其中${\displaystyle \mathit{n}}$是曲面的單位法向量。對單位切向量${\displaystyle \mathit{x}}$，第二基本形式分別在主方向${\displaystyle {\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2}$處取得最大值${\displaystyle k_1}$與最小值${\displaystyle k_2}$。因此第二基本形式也可表示爲

${\displaystyle \mathrm{I}\mathrm{I}=k_1(\mathit{x}\cdot {\mathit{u}}_1{)}^2+k_2(\mathit{x}\cdot {\mathit{u}}_2{)}^2}$

形狀算子[編輯]

形狀算子是與曲率相關(guān)的一個(gè)概念，是切空間到自身的線(xiàn)性算子。主曲率是形狀算子的特徵值，事實(shí)上形狀算子與第二基本形式關(guān)於切平面的一對正交基的矩陣表示相同。於是高斯曲率等於形狀算子的行列式，而平均曲率等於形狀算子的跡的一半。

黎曼幾何|多變量微積分|曲率